条件概率

定义设 $(Ω, Σ, P)$ 是一个概率空间，事件 $A \in Σ$ 且 $P (A) > 0$ ，对于任意事件 $B \in Σ$ ，称

P (B ∣ A) = \frac{P (A B)}{P (A)}

为事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的概率，简称为条件概率（Conditional Probability），读作“given $A$ ， $B$ 的概率”。

P (A) = P (A ∣ Ω) .

相对地，条件概率 $P (B ∣ A)$ 也可以看作事件 $A$ “缩小了”样本空间（全集）上的某个概率。

1. 条件概率的基本计算性质

条件概率是概率，因此遵循非负性、规范性、可列可加性、容斥原理。

非负性: $P (B ∣ A) \geq 0$

规范性: $P (Ω ∣ A) = 1$

且 $P (A ∣ A) = 1.$

可列可加性：若对于任意 $i \neq j$ , $B_{i} \cap B_{j} = \emptyset$ , 则

P (⋃_{i = 1}^{n} B_{i} ∣ A) = \sum_{i = 1}^{n} P (B_{i} ∣ A) .

容斥原理:

P (B_{1} \cup B_{2} ∣ A) = P (B_{1} ∣ A) + P (B_{2} ∣ A) - P (B_{1} \cap B_{2} ∣ A) .

以及

P (B ∣ A) = 1 - P (\overset{―}{B} ∣ A) .

该式可以令容斥原理中的 $B_{1} = B, B_{2} = \overset{―}{B}$ 推出。

同理可以推广至多事件并的情况。

对概率非零的事件 $A$ 和 $B$ ，根据条件概率的定义

P (B ∣ A) = \frac{P (A B)}{P (A)}

可得

P (A B) = P (A) P (B ∣ A) = P (B) P (A ∣ B) .

进而，我们可以推广到多事件的情况。

定理 0.5 对随机事件 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ ，有

P (A_{1} A_{2} \dots A_{n}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (A_{3} ∣ A_{1} A_{2}) \dots P (A_{n} ∣ A_{1} A_{2} \dots A_{n - 1}) .

题目： 一个箱子中有 $a$ 个红球和 $b$ 个白球，依次任意无放回地取出 $n$ 个球 $(n \leq a + b)$ ，其中包括 $k$ 个白球 $(k \leq b)$ ，求在此情形下第一次取出白球的概率。

解答：

用 $A$ 表示第一次取出白球的事件，用 $B$ 表示依次取出 $n$ 个球中包括 $k$ 个白球的事件，根据题意和超几何分布有

P (A) = \frac{b}{a + b},

P (B) = \frac{(\binom{a}{n - k}) (\binom{b}{k})}{(\binom{a + b}{n})} .

以及

P (B ∣ A) = \frac{(\binom{a}{n - k}) (\binom{b - 1}{k - 1})}{(\binom{a + b - 1}{n - 1})} .

所求概率

P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{P (A) P (B ∣ A)}{P (B)} = \frac{k}{n} .